Komplekse tall

Formler og regler for komplekse tall i Matte 1

Generelt

La $z=a+b iz=a+b\,i$ være et kompleks tall der $i2=−1i^2=-1$:

• $Re(z)=aRe(z)=a$
• $Im(z)=bIm(z)=b$ (husk: ikke ta med $ii$)

Regneregler

For $z1=a+biz_1=a+bi$ og $z2=c+diz_2=c+di$:

• Addisjon: $z1+z2=(a+c)+(b+d) iz_1+z_2 = (a+c) + (b+d)\,i$
• Subtraksjon: $z1−z2=(a−c)+(b−d) iz_1-z_2 = (a-c) + (b-d)\,i$
• Multiplikasjon: $z1⋅z2=(ac−bd)+(ad+bc) iz_1 \cdot z_2 = (ac-bd) + (ad+bc)\,i$
• Konjugat: $z1‾=a−b i\overline{z_1} = a-b\,i$
• Absolutt verdi: $∣z1∣=a2+b2\lvert z_1 \rvert=\sqrt{a^2 + b^2}$

Divisjon

For å dele komplekse tall, multipliser med den konjugerte:

$$a+b ic+d i=(a+b i)(c−d i)(c+d i)(c−d i)=(a+b i)(c−d i)c2+d2\frac{a+b\,i}{c+d\,i} = \frac{(a+b\,i)(c-d\,i)}{(c+d\,i)(c-d\,i)} = \frac{(a+b\,i)(c-d\,i)}{c^2+d^2}$$

Polarform

Et kompleks tall kan skrives som:

$$z=r(cosθ+i sinθ)z = r(cos\theta + i\, sin\theta)$$

der

• Modulus: $r=∣z∣=a2+b2r = \lvert z \rvert = \sqrt{a^2 + b^2}$

• Argument: $θ=arg(z)\theta = arg(z)$

Eulers formel

Et kompleks tall kan også skrives med eulers tall:

$$ei θ=cosθ+i sinθe^{i\,\theta}=cos\theta+i\,sin\theta$$

En verdi på $θ=π\theta=\pi$ er lur å kunne på rams: $eiπ=−1e^{i\pi}=-1$

Man kan også multiplisere inn $rr$ som lengden.

Cos/sin-tabell

Vinkel	Radianer	$sin⁡x\sin x$	$cos⁡x\cos x$
$0∘0^\circ$	$00$	$00$	$11$
$30∘30^\circ$	$π6\frac{\pi}{6}$	$12\frac{1}{2}$	$32\frac{\sqrt{3}}{2}$
$45∘45^\circ$	$π4\frac{\pi}{4}$	$22\frac{\sqrt{2}}{2}$	$22\frac{\sqrt{2}}{2}$
$60∘60^\circ$	$π3\frac{\pi}{3}$	$32\frac{\sqrt{3}}{2}$	$12\frac{1}{2}$
$90∘90^\circ$	$π2\frac{\pi}{2}$	$11$	$00$

Røtter og potens

$nn$-te røtter

En $nn$-te rot har alltid $nn$ løsninger notert $wkw_k$ $kk$ er én av de $nn$-te løsningene.

Alle $nn$-te røtter kan bli funnet med:

$$zn=rn⋅ei(θn+k⋅2πn)\sqrt[n]{z} = \sqrt[n]{r}\cdot e^{i(\frac{\theta}{n}+ k\cdot \frac{2\pi}{n})}$$

$nn$-te potens

En potens kan skrives på formen:

$$zn=rnei(θn)z^n = r^n e^{i(\theta n)}$$